# 칸토어 먼지

프랙탈의 본성은 '축소하여 자기자신을 복제' 하는 것으로 앞 장의 예제들도 이를 만족하고 있다. 흔히들 프랙탈은 1970년대 만델브로트에 의해 창시되었다고 하나 그 이전에도 여러 수학자들에 의해 프랙탈이 연구되었다.

칸토어 먼지(Georg Cantor. 1872), 코호 곡선(Helge von Koch, 1904), 시어핀스키 양탄자(Waclaw Sierpinski. 1910년대 후반) 등이 대표적인 예이다. 이들을 고전적 프랙탈(Classical Fractal)이라 한다.

이 장에서는 고전적 프랙탈 중 칸토어 먼지를 재귀 호출 함수를 사용하여 구현하는 방법을 설명한다.

## 칸토어 먼지와 칸토어 집합

고전적 프랙탈 가운데 가장 오래된 것중의 하나가 칸토어 먼지로 1872년에 독일의 수학자 칸토어에 의해 발표되었다.

![](https://2144407692-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M3x1x4RYzUAA01pfyth%2F-M3x1z5BX5jQshBXYC40%2F-M3x20R3wnh0LqFO-_Y5%2Fim01.gif?generation=1585867139545408\&alt=media)

위의 그림은 칸토어 먼지의 그림이다. 길이가 1인 직선을 준비한 후 가운데 1/3 을 지운다. 이 결과 좌우에 두 직선이 생기는데 이 두 직선에 대해서도 가운데 1/3 을 지운다. 이러한 작업을 무한히 반복한 결과 남아 있는 것들의 모임을 칸토어 먼지라고 부른다. 칸토어 먼지를 칸토어 집합(Contor Set)이라고도 한다. 칸토어 집합은 물리, 수학, 통계 등 여러 분야에서 널리 활용되고 있다.

## 알고리즘 분석

위 그림의 칸토어 먼지는 완벽한 순환적 구조이다. 이와 같은 순환적 구조의 경우에는 재귀 호출 함수를 사용하여 프로그램을 작성하는데, 앨고리즘을 분석할 때에는 재귀호출이 한번 수행된 후 얻어진 그림을 가지고 분석한다. -> 방향으로 칸토어 먼지를 그리는 것으로 하고 이 그림을 그리는 함수를 Cantor()라 하자.

![](https://2144407692-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M3x1x4RYzUAA01pfyth%2F-M3x1z5BX5jQshBXYC40%2F-M3x20R5i-7My_6rQ2GX%2Fim02.gif?generation=1585867139929632\&alt=media)

## 코드 작성

이 상의 내용을 코드로 작성해 보자. 우선 사각형을 그려주는 함수 DrawRectangle() 를 살펴보자.

```cpp
void DrawRectangle(GLfloat x, GLfloat y, GLfloat length)
{
    glPushMatrix();
        glTranslatef(x, y, 0.0f); //지정 위치로 이동
        glScalef(1.0f, length, 1.0f); //Y축으로 length 만큼 확대 
        //넓이 1*length 의 사각형
        glBegin(GL_QUADS); 
            glColor3f(1.0f, 0.5f, 1.0f);
            glVertex3f(-1.0f, 0.0f, 0.0f);
            glVertex3f( 0.0f, 0.0f, 0.0f);
            glVertex3f( 0.0f, 1.0f, 0.0f);
            glVertex3f(-1.0f, 1.0f, 0.0f);
        glEnd();
    glPopMatrix(); 
}
```

너비가 1 인 사각형을 그리되, glScalef() 함수를 이용해서 Y 축으로 length 길이만큼 확대하므로 결과적으로 1\*length 의 너비를 갖는 사각형을 그리게 된다. 다음은 칸토어 먼지를 그려주는 Cantor() 함수를 살펴보자.

```cpp
void Cantor(GLfloat x, GLfloat y, GLfloat length)
{
    if(length > 0.1f) //0.1f 보다 큰 사각형들을 그린다.
    {
        DrawRectangle(x, y, length); //A 를 그린다.
        //각 사각형의 간격은 1.5
        Cantor(x+1.5f, y, length/3.0f); //B 를 그린다.
        Cantor(x+1.5f, y+length*(2.0f/3.0f), length/3.0f); //C 를 그린다.
    }
}
```

B 를 그릴 때 A length 의 1/3 크기의 사각형을 그린다. 그리고 C 를 그릴 때 Y 축에서 2/3 만큼 아래로 이동한 좌표에 A length 의 1/3 크기의 사각형을 그린다. length 가 0.1 보다 작아질 때까지 이를 계속해서 반복한다. 다음은 투영영역을 설정하는 OnSize() 의 함수다.

```cpp
void RenderWindow::OnSize(WPARAM wParam, LPARAM lParam)
{
    width = LOWORD(lParam);
    height = HIWORD(lParam);

    if (height == 0)
        height = 1; 

    glViewport( 0, 0, width, height ); 

    glMatrixMode(GL_PROJECTION); 
    glLoadIdentity(); 

    width /= 5; //X축 5배 확대
    height /= 5; //Y축 5배 확대

    // {left, top}~{right,bottom} => {0,0}~{width/5, height/5}
    glOrtho(0, width, height, 0, 1.0f, -1.0f);

    glMatrixMode(GL_MODELVIEW); 
    glLoadIdentity(); 
}
```

윈도우에서 사용하는 좌표계와 동일한 좌표계를 만들고 있다. 칸토어 먼지는 이러한 좌표계를 사용하는 것이 구현하기 더 쉽기 때문에 그렇게 했다. 다음은 이를 좋합한 전체적인 코드와 결과 프로그램의 화면을 보자.

![](https://2144407692-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M3x1x4RYzUAA01pfyth%2F-M3x1z5BX5jQshBXYC40%2F-M3x20R9QD4BY06iMRNP%2Fim03.jpg?generation=1585867139737799\&alt=media)

```cpp
#include <windows.h>
#include "lib\egl.h"

using namespace egl;

void DrawRectangle(GLfloat x, GLfloat y, GLfloat length)
{
    glPushMatrix();
        //지정 위치로 이동
        glTranslatef(x, y, 0.0f);
        //Y축으로 length 만큼 확대
        glScalef(1.0f, length, 1.0f);
        //넓이 1*length 의 사각형
        glBegin(GL_QUADS); 
            glColor3f(0.0f, 1.0f, 0.0f);
            glVertex3f(-1.0f, 0.0f, 0.0f);
            glVertex3f( 0.0f, 0.0f, 0.0f);
            glVertex3f( 0.0f, 1.0f, 0.0f);
            glVertex3f(-1.0f, 1.0f, 0.0f);
        glEnd();
    glPopMatrix(); 
}

void Cantor(GLfloat x, GLfloat y, GLfloat length)
{
    if(length > 0.1f)
    {
        DrawRectangle(x, y, length); //A

        //각 사각형의 간격은 1.5
        Cantor(x+1.5f, y, length/3.0f); //B
        Cantor(x+1.5f, y+length*(2.0f/3.0f), length/3.0f); //C
    }
}

class RenderWindow : public Window
{
private:
    GLsizei width, height;
public:
    virtual void RenderGLScene(void);
    virtual void OnSize(WPARAM wParam, LPARAM lParam);
};

void RenderWindow::OnSize(WPARAM wParam, LPARAM lParam)
{
    width = LOWORD(lParam);
    height = HIWORD(lParam);

    if (height == 0)
        height = 1; 

    glViewport( 0, 0, width, height ); 

    glMatrixMode(GL_PROJECTION); 
    glLoadIdentity(); 

    width /= 5; //X축 5배 확대
    height /= 5; //Y축 5배 확대

    // {left, top}~{right,bottom} => {0,0}~{width, height}
    glOrtho(0, width, height, 0, 1.0f, -1.0f);

    glMatrixMode(GL_MODELVIEW); 
    glLoadIdentity(); 
}

void RenderWindow::RenderGLScene(void)
{
    static float length=60.0f;
    static float OriginX =0.0f; 
    static float OriginY =0.0f; 

    OriginX = (float)(width/2); //칸토어 먼지가 그려질 X축 원점은 윈도우 너비의 1/2
    OriginY = (float)(height/2)-(length*0.5); //칸토어 먼지가 그려질 Y축 원점은 윈도우 높이의 1/2 - 막대기 길이의 1/2 

    Window::RenderGLScene();
    Cantor(OriginX, OriginY, length);
}

int APIENTRY WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstance, LPSTR lpCmdLine, int nShowCmd)
{
    RenderWindow app;
    if(!app.Create(FALSE,"Fractal Graphics - Cantor Set"))
        return EXIT_FAILURE;
    return app.Run();
}
```